บทเรียนที่ 3: คณิตศาสตร์เลขยกกำลัง ชั้นมัธยม1

เลขยกกำลัง
บทนิยาม
ถ้า b แทนจำนวนใด ๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวกแล้ว

เลขยกกำลัง

ข้อตกลง

bn ถูกเรียกว่า เลขยกกำลัง ที่มี b เป็นฐานและ n เป็นเลขชี้กำลัง
bn ถูกอ่านออกเสียงว่า กำลังที่เอ็นของบี หรือ บียกกำลังเอ็น หรือ บีกำลังเอ็น

การหาค่าของเลขยกกำลัง จากนิยามของเลขยกกำลัง

เราสามารถหาค่าของเลขยกกำลังได้ ดังนี้

ตัวอย่าง

จงหาค่าของเลขยกกำลัง 32

คำตอบ 32 = 3 x 3 = 9

จงหาค่าของเลขยกกำลัง 42

คำตอบ 42 = 4 x 4 = 16

จงหาค่าของเลขยกกำลัง 53

คำตอบ 53 = 5 x 5 x 5 = 125

จงหาค่าของเลขยกกำลัง (-5)3

คำตอบ (-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

จงหาค่าของเลขยกกำลัง (-2)5

คำตอบ (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32

จงหาค่าของเลขยกกำลัง (0.2)4

คำตอบ (0.2)5 = (0.2) x (0.2) x (0.2) x (0.2) = 0.0016

จงหาค่าของเลขยกกำลัง (-2)4

คำตอบ (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16

จงหาค่าของเลขยกกำลัง -24

คำตอบ -(24) = -(2 x 2 x 2 x 2) = -(16)

หลักการในเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังนั้น ให้เขียนเป็นผลคูณของจำนวนที่ซ้ำ ๆ กัน ดังนี้

ให้เขียนเลข 9 ให้อยู่ในเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1

พบว่า 9 = 3 x 3 = 32

หรือ 9 = (-3) x (-3) = (-3)2

ข้อสังเกต พบว่า ถ้าเลขยกกำลังใดที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ แล้วจะมีฐานเป็นไปได้ทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ

ให้เขียนเลข 125 และ -125 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1

พิจารณา 125 = 5 x 5 x 5 = 53

พิจารณา -125 = (-5) x (-5) x (-5) = (-5)3

ข้อสังเกต พบว่า ถ้าเลขยกกำลังใดที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ แล้วจะมีฐานที่เป็นไปได้เพียงจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนเต็มลบอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

การคูณของเลขยกกำลัง

สมบัติการคูณของเลขยกกำลัง

เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก

am x an = am + n

จากสมบัติข้างต้นเราสามารถหาค่าของเลขยกกำลังที่คูณกันอยู่ได้ แต่จะมีข้อแม้ คือ ฐานต้องเท่ากัน

ตัวอย่าง

วิธีทำ 23 x 24 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2) = 27

หรือ 23 x 24 = 23 + 4 = 27

จากตัวอย่างข้างต้นได้พิสูจน์แล้วว่า เมื่อนำเลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันมาคูณกันนั้นถ้าทำเป็นวิธีทำก็จะกระจายเลขยกกำลังออกมาแล้วก็หาค่า แต่มีวิธีคิดที่ง่ายและได้พิสูจน์แล้ว คือให้นำเลขยกกำลังมาบวกกัน

เลขยกกำลังที่มีฐานในรูปการคูณ ในบางครั้งเลขยกกำลังนั้นก็มีฐานที่ไม่ใช่ตัวเลขเดียว ๆ แต่อยู่ในรูปการคูณกัน เช่น (2 x 3)2

สมบัติเลขยกกำลังที่มีฐานในรูปการคูณ

เมื่อ a และ b แทนจำนวนใด ๆ n แทนจำนวนเต็มบวก (a x b)n = an x bn

ตัวอย่าง

(2 x 3)3 = (2 x 3) x (2 x 3) x (2 x 3)

(2 x 3)3 = (3 x 3 x 3) x (2 x 2 x 2) จากสมบัติการสลับที่การคูณ

(2 x 3)3 = (3)3 x (2)3

ในทำนองเดียวกัน เราก็สามารถหาค่าโดยใช้แบบนี้ได้

64 = (2 x 3)4

64 = (2)4 x (3)4

เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

สมบัติเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก (am)n = am x n

จากสมบัติข้างต้นเราสามารถหาค่าของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลังได้ โดยการเอากำลังมาคูณกัน

ตัวอย่าง และ วิธีทำ

(23)2 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)

(23)2 = 22 x 3 = 26

นอกจากนี้เรายังสามารถคูณเข้ากับเลขยกกำลังที่มีฐานในรูปการคูณได้อีกด้วย

ตัวอย่าง และ วิธีทำ

((2 x 2)3)2 = (23 x 23)2

((2 x 2)3)2 = 23 x 2 x 23 x 2

((2 x 2)3)2 = 26 x 26

((2 x 2)3)2 = 26 + 6

((2 x 2)3)2 = 212

((2 x 2)3)2 = 4096

ถ้าเราทำอีกแบบหนึ่งก็จะได้คำตอบเหมือนกัน

((2 x 2)3)2 = (43)2

((2 x 2)3)2 = 43 x 2

((2 x 2)3)2 = 46

((2 x 2)3)2 = 4096

การหารเลขยกกำลัง

สมบัติของการหารเลขยกกำลัง

เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ a ≠ 0, m และ n แทนจำนวนเต็มบวก am ÷ an = am – n

การหารเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันและฐานไม่เท่ากับศูนย์มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ในรูป am ÷ an จะแบ่งเป็น 3 กรณี

กรณีที่ 1 : am ÷ an เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n แทนจำนวนเต็มบวก และ m > n
กรณีที่ 2 : am ÷ an เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n แทนจำนวนเต็มบวก และ m = n
กรณีที่ 3 : am ÷ an เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n แทนจำนวนเต็มบวก และ m < n

การใช้เลขยกกำลังที่เขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามากหรือมีค่าน้อย

ในบทนี้จะเป็นการนำเลขยกกำลังไปใช้ เพื่อเขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามาก ๆ หรือจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ซึ่งส่วนมากมักนิยมเขียนจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์(Scientific notation) มีรูปทั่วไปเป็น A x 10n เมื่อ 1<= A < 10

การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 6,000,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

วิธีทำ 6,000,000 = 6 x 1,000,000

ตอบ 6 x 106

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียน 12,340,000,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

วิธีทำ 12,340,000,000 = 1.234 x 10,000,000,000

ตอบ 12,340,000,000 = 1.234 x 1010

การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 0.002 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

วิธีทำ 0.002 = 2 x 10-3

ตอบ 0.002 = 2 x 10-3

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียน 0.0000000023 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์