แผนภาพออยเลอร์ (Eulerdiagram) เป็นแผนภาพที่ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ของเซตต่างๆโดยให้วงกลมแต่ละวงแทนแต่ละเซตและแสดงความสัมพันธ์ของแต่ละเซตด้วยการครอบซึ่งแสดงความเป็นสับเซตการทับซ้อนกันหรือการไม่ทับซ้อนกันซึ่งแสดงว่าทั้งสองเซตไม่มีความสัมพันธ์กัน ลักษณะแผนภาพวงกลมเช่นนี้เชื่อว่าถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสนามว่าเลออนฮาร์ดออยเลอร์แผนภาพออยเลอร์นั้นมียังลักษณะคล้าย คลึงกันกับแผนภาพเวนน์มากในทฤษฎีเซตซึ่งเป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงนิยมใช้แผนภาพประยุกต์จากแผนภาพทั้งสองในการอธิบายเซตต่าง ๆ ให้เข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เป็นแผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของเซตต่าง ๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวนน์ และ เลโอนาร์ด ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซตย่อยของ Uอาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆโดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพสัมพัทธ์
การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้
- ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์
- ช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกของ และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า
A เป็นสับเซตของ U
เซต A และ B เป็นสับเซตของ U โดยที่ A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน
เซต A และ B เป็นสับเซตของ U โดยที่ A และ B มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน
เซต A เป็น สับเซตของ B
เซต A เท่ากับ B
ตัวอย่าง
จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แสดงความสัมพันธ์ของเซตต่อไปนี้
กำหนด U = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15}
A = {8, 9, 15}
B = {7, 8, 9, 11, 12, 13}
วิธีทำ เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล
เราจะวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กหนด แสดงว่าสมเหตุสมผล ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผล โดยจะใช้การอ้างเหตุผลโดยตรรกบทของตรรกศาสตร์เข้ามาตรวจสอบ
ในการใช้แผนภาพเพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผล จะต้องวาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุกกรณีที่เป็นไปได้ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จะได้ว่าข้อสรุปนั้น สมเหตุสมผล แต่ถ้ามีบางกรณีที่ไม่สอดคล้องกับผลสรุปแล้ว ผลสรุปนั้นจะไม่สมเหตุผมผล
ข้อความที่ใช้อ้างเหตุผลมีอยู่ 4 แบบหลักๆ คือ (1-4) และอีก 2 แบบเพิ่มเติม คือ (5-6) ดังนี้
ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต
ยูเนียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซต
- “ ยูเนียนของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”
- A B = {x| x A หรือ x เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}
เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}
จะได้ A B ={1,3,5,6,9}
อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B
- “ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”
- A B = {x| x A และ x B}
เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}
จะได้ A B = {2,4}
A C = {1}
B C = {}
คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A
- “คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”
- A = {x| x € U และ x € A }
เช่น U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}
จะได้ A = {1,3}
B = {0,2}
ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B
- ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B
- A-B ={x| x € A และ x € B}
เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}
จะได้ A-B = {0,2,4}
B-A = {5,7,9}
จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด
จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต A ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)
การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ทำได้โดย
- การนับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์
- การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้
ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจำกัด
- n(A B) = n(A) +n(B) – n(A B)
- n(A B) = n(A) +n(B)+ n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)
สัญลักษณ์ที่ควรทราบ
- N เซตของจำนวนนับ
- I+ เซตของจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
- I- เซตของจำนวนเต็มลบ
- I เซตของจำนวนเต็ม
- Q เซตของจำนวนตรรกยะ
- Q’ เซตของจำนวนอตรรกยะ
- R+ เซตของจำนวนจริงบวก
- R- เซตของจำนวนจริงลบ
- R เซตของจำนวนจริง
