ตรรกศาสตร์เป็นวิชาแขนงหนึ่งที่มีการศึกษาและพัฒนามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ คำว่า ตรรกศาสตร์ มาจากภาษาสันสกฤตว่า ตรฺก (หมายถึง การตรึกตรอง หรือความคิด) รวมกับ ศาสตร์ (หมายถึง ระบบความรู้) ดังนั้น ตรรกศาสตร์ จึงหมายถึง ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด โดยความคิดที่ว่านี้ เป็นความคิดที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล มีกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล นักปราชญ์สมัยโบราณได้ศึกษาเกี่ยวกับการให้เหตุผล แต่ยังเป็นการศึกษาที่ไม่เป็นระบบ จนกระทั่งมาในสมัยของอริสโตเติล ได้ทำการศึกษาและพัฒนาตรรกศาสตร์ให้มีระบบยิ่งขึ้น มีการจัดประเภทของการให้เหตุผลเป็นรูปแบบต่าง ๆ ซึ่งเป็นแบบฉบับของการศึกษาตรรกศาสตร์ในสมัยต่อมา เนื่องจากตรรกศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผล จึงเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ปรัชญา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ กฎหมาย เป็นต้น นอกจากนี้ ยังถูกนำมาใช้ในชีวิตประจำวันอยู่เสมอ เพียงแต่ รูปแบบของการให้เหตุผลนั้น มักจะละไว้ในฐานที่เข้าใจ และเพื่อเป็นความรู้พื้นฐานสำหรับ ผู้ศึกษาที่จะนำไปใช้และศึกษาต่อไป จึงจะกล่าวถึงตรรกศาสตร์และการให้เหตุผลเฉพาะส่วนที่ จำเป็นและสำคัญเท่านั้น
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี คือ
1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกต หรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป ซึ่งข้อสรุปที่ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง
ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่ ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะ ข้อสังเกต หรือ ตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น
ข้อสังเกต
- ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป
- การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป
- ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน
- ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผิดพลาดได้
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning ) เป็นการนำสิ่งที่ยอมรับว่าเป็นจริงมาประกอบเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้ว
- การสรุปที่สมเหตุสมผล (Valid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุที่เป็นจริงเป็นผลให้ได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง
- การสรุปผลที่ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุเป็นจริง แต่ไม่เป็นผลให้ไดข้อสรุปที่ถูกต้อง
การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลโดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริงทั้งหมด มาเป็นข้ออ้างและสนับสนุนเพื่อสรุปเป็นข้อความจริงใหม่ ข้อความที่เป็น ข้ออ้างเรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป หรือข้อสรุป ซึ่งถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุป แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล
ตัวอย่าง
เหตุ 1 : คนทุกคนต้องหายใจ
2 : นายเด่นเป็นคน
ผลสรุป : นายเด่นต้องหายใจ
จะเห็นได้ว่า จากเหตุ 1 และเหตุ 2 บังคับให้เกิดผลสรุป ดังนั้นการให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้นสมารถตรวจสอบได้หลายวิธี แต่วิธีการหนึ่งที่นิยม คือ การวาดแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ เป็นการวาดแผนภาพตามสวมมิติฐานที่เป็นไปได้ แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลการสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่
- ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนดจึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนันสมเหตุสมผล
- ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ จึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผลมี 6 แบบ คือ
- สมาชิกของเซต A ทุกตัว เป็นสมาชิกของเซต B
- ไม่มีสมาชิกของเซต A ตัวใด เป็นสมาชิกของเป็นสมาชิกของเซต B
- มีสมาชิกของเซต A บางตัว เป็นสมาชิกของเซต A
- สมาชิกของเซต A บางตังไม่เป็นสมาชิกของเซต B
- มีสมาชิกของเซต A หนึ่งตัวที่เป็นสมาชิกของเซต B
- มีสมาชิกของเซต A หนึ่งตัวไม่เป็นสมาชิกของเซต B
