จำนวนจริง
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ  ได้แก่

• เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย  I   ——- I = {1,2,3…}
•  เซตของจำนวนเต็มลบ  เขียนแทนด้วย  I
• เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I  ——-    I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
• เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน      โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม  และ b = 0

จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ

1. จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,…
2. จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์  เช่น
3. จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.414 , -0.17 , 1.508

เซตของจำนวนอตรรกยะ: 
จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้

ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
= 1.4142135…   มีค่าประมาณ    1.414
= 1.4422495…   มีค่าประมาณ    1.442
= -0.8660254…  มีค่าประมาณ    -0.866
= 3.14159265…  มีค่าประมาณ    3.1416

ยูเนียนของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเรียกว่า  “ เซตของจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  R

จำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ได้จากการแก้สมการ x = -1 ซึ่งบอกไม่ได้ว่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์  จำนวนพวกนี้ไม่ใช่จำนวนจริง

ยูเนียรของเซตของจำนวและเซตจำนวนจริงชนิดใหม่เรียกว่า “เซตจำนวนเชิงซ้อน”

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ

1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้ว b = c
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = a และb = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a+c = b+ c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า  a =  b แล้ว ac = bc

2) สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติ
การบวก
การคูณ
ปิด
a+b €   R
ab  €   R

การสลับที่
a+ b = b+a
ab = ba

การเปลี่ยนหมู่
(a+b)+c = a+(b+c)
(ab)= a(bc)

การมีเอกลักษณ์
มีจำนวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0
มีจำนวนจริง 1 a = a= a  1 ริงซึ่ง 1 ซึ่ง
เรียก 0 ว่าเอกลักษณ์
เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์

การมีอินเวอร์ส
สำหรับจำนวนจริง aจะมีจำนวนจริง –a  โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของ a

เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริง a ที่ a   0
จะมีจำนวนจริง a  โดยที่ a

a = 1 = a   a  เรียก a  ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a 

การแจกแจง
A(a+b) = ab+ac

ทฤษฎีบท 1: กฎการตัดออกสำหรับการบวก
เมื่อ a ,b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) ถ้า a+b = b+c แล้ว a = b
(2) ถ้า a+b = a+c แล้ว b = c

ทฤษฎีบท 2: กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
เมื่อ a ,b, c เป้นจำนวนจริงใดๆ
(1)  ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
(2)  ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบท 3: เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ  a •  0 = 0

ทฤษฎีบท 4: เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1) a = -a

ทฤษฎีบท 5: เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ถ้า ab = 0 แล้ว
a = 0 หรือ  b = 0

ทฤษฎีบท 6: เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. a (-b)  = -ab
2. (-a)b =  -ab
3. (-a)(-b) =  ab

การลบและการหารจำนวนจริง
บทนิยาม
เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a-b = a+(-b)

ทฤษฎีบท 7: ถ้า a ,b ,c ป็นจำนวนจริงแล้ว

1. a (b-c)   =  ab – ac
2. (a-b)c    =  ac – bc
3. (-a)(b-c)  =  -ab + ac

บทนิยาม
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่  b = 0
= a( b )

ทฤษฎีบท 8: ถ้า a ≠ 0 จะได้  a  ≠ 0

ทฤษฎีบท 9:

1. =  เมื่อ b , c = 0
2. =  เมื่อb, d = 0
3. =  เมื่อ b, d = 0
4. =  เมื่อ b , c = 0
5. =  เมื่อ b , c = 0
6. =  เมื่อ b , c, d = 0

การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ตัวแปร:  อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x , y ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน
ค่าคงตัว:  ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2
นิพจน์:  ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x  ,x-8 ,
เอกนาม:  นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้               
กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y


พหุนาม:  นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอก   นามขึ้นไป เช่น 3x , 5x +15xy+10x+5

ดีกรีของเอกนาม: ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3

การแยกตัวประกอบของพหุนาม
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว: พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax + bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

• การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
• ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)

เช่น
จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12
จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
ซึ่งก็คือ 5 และ 2
จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7
ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)

Note:
ในกรณ๊ทั่วไป x – a = (x-a)(x+a) เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0

• การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax +bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ  a ≠0 ,c ≠ 0

เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้

(2x   )(2x  )หรือ(4x  )(x   )

2.) หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1)            (4x-1)(x-1)

3) หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x จะได้ – 2x
จากผลคูณ  ( 2x -1  )( 2x-1) ได้พจน์กลางเท่ากับ -4x -2x

ดั้งนัน พหุนาม 4x -4x-1 = (2x-1)(2x-1)=(2x-1)

• การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

กำลังสองสมบูรณ์: พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น

x+2ax+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)

ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้

x-2ax+a = (x-a)
x+6x+9 = (x+3)
x-2ax+a = (x-2)
x-8x+16 = (x-4)

• การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
X+2x-5     =    ( x+2x)-5
=   (x+2x+1)-5-1
=   (x+1) -6
ดั้งนั้น   x+2x-5   = (x+1)-6
จาก     x-a          = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6     = ((x+1)-  6  )((x+1)+  6  )

การแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว  การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c = 0 เมื่อ a  b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0 ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้

“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a = 0”

การหาคำตอบของสมการ: การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง

• การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ

เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ   แยกตัวประกอบของ x-4x+3
จะได้ (x-3)(x-1)
หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) = 0
โดยหา x ที่ทำให้ x-3 = 0 หรือ x-1= 0
นั่นคือ                x= 0 หรือ x= 1

ตรวจคำตอบ   โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x  ด้วย 1 จะได้
(1)-4 (1)+3 = 0   ซึ่งเป็นจริง

เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้
 (3)-4(3)+3 = 0   ซึ่งเป็นจริง

ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0

• การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

x = เมื่อ a = 0 และ b -4ac ≥0

หมายเหตุ:
สมการกำลังสอง ax +bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0
มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ  เมื่อ b -4ac  0
มีคำตอบที่เป็นจำนวน 1 คำตอบ        เมื่อ b -4ac = 0
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง             เมื่อ b -4ac    0

การไม่เท่ากัน
การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม
n >  5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,…
n ≤ 1  หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1  ,0 ,-1 ,-2, …
n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น … ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,…

อสมการ: ประโยคที่มีสัญาลักษณ์ หรือ =  แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน
คำตอบของอสมการ: จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง

เซตคำตอบของอสมการ: การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน

สมบัติของการไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

(1) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a   b และ b   c  แล้ว  a   c
(2) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a    b แล้ว a+c     b  +c
(3) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่น้อยกว่าศูนย์ ถ้า a     b และ c      0  แล้ว ac    bc
(4) สมบัติการตัดต่อออกสำหรับการบวก ถ้า a+ b    b+c แล้ว a   b
(5) สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ ถ้า ac   bc c  และ c    0  แล้ว  a      b
ถ้า ac    bc   และ c     0 แล้ว a    b

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้สมการตัวแปรเดียว  ให้  a ,b ,c เป็นจำนวนจริง  และ  a    b
ช่วงเปิด  ( a ,b ) หมายถึง { x| a  <  x      b}
ช่วงปิด [a, b] หมายถึง {x | a _ x _b }
ช่วงครึ่งปิด (a ,b] หมายถึง {x | a   x    b}
ช่วงครึ่งเปิด [ a, b) หมายถึง {x | a ≤ x   ≤  b}
ช่วง (a ,b  ) หมายถึง {x | x  > a}
ช่วง [ a ,   ) หมายถึง {x | x _ a}
ช่วง (-   ,  a ]หมายถึง {x | x _ a}
ช่วง (-    , –    ) หมายถึง {x | x      R}

การแก้สมการกำลังสองตัวแปร
เช่น  P(x)     0 , P(x)      0 , P(x)     0  หรือ P(5)     0
ให้ P (x) = (x-a) (x- b) โดยที่ a    b
P(x)      0 เมื่อ  x     a เมื่อ  x      b
P(x)      0 เมื่อ a    x       b
P(x)  = 0 เมื่อ x= a หรือ x = b

เซตคำตอบของสมการ P(x)      0 คือ (-   , a)     (b ,     )
เซตคำตอบของสมการ P(x)      0 คือ (a , b)

ค่าสมบูรณ์ของจำนวนจริง

ค่าสมบูรณ์ของจำวนจริง a : เมื่อกำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนที่จำนวนจริง a เขียนแทนด้วย |a|

เช่น
|2| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน 2 ซึ่งเท่ากับ 2 หน่วย
|-2| หมายถึง ระยะจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน -2 ซึ่งเท่ากับ

สรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ไดดังนี้
|a|  = a เมื่อ a     0
= a เมื่อ a =  0
=  -a เมื่อ a    0

สมบัติของค่าสัมบูรณ์
ให้ x , y เป้นจำนวนจริงใด ๆ

1. |x| _ 0 เสมอทุกค่าของจำนวนจริง x
2. |x| = |-x|
3. x  = |x|
4. |x|² = |x| = x
5. |xy| = |x|  |y|
6. | x| = |x| เมื่อ y = 0
7. |x+y|  _ |x| + |y|
8. |x-y| = |y-x|
9. ถ้า x = y แล้ว |x| = |y|
10. ถ้า |x| = |y| แล้ว x= y หรือ x-y
11. ถ้า |x|    |y| แล้ว x   y
12. ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ

• |x|     a มีความหมายเช่นเดียวกับ – a     x     a
• |x| _  a มีความหมายเช่นเดียวกับ –a  _  x  _  a
• |x|      a มีความหมายเช่นเดียวกับ x      -a หรือ x     a
• |x|  _ a มีความหมายเช่นเดียวกับ x _ – a หรือ x  _  a